ГлавнаяКарта сайтаНапишите намПоиск по сайту
EDS-Soft
ElectroDynamic Systems Software ScientificTM
Antenna Systems ResearchTM






Ближняя зона антенны

Зона, ограниченная расстоянием до десяти длин волн, излучаемых антенной.

(из «Словаря терминов» нашего сайта)






Иосиф Евгеньевич Андрушкевич, доцент ВГУ им. П. М. Машерова (г.Витебск, РБ), кандидат физико−математических наук.
Первый проректор ВГУ.


Валерий Анатольевич Жизневский, старший преподаватель кафедры физики ВГТУ (г. Витебск, РБ).

Обобщенный метод Фурье при решении внутренних смешанных краевых задач



Опубликовано: 22.03.2004
Оригинал: www.laboratory.ru
© И. Е. Андрушкевич, В. А. Жизневский. Все права защищены.
© EDS–Soft, 2004. Все права защищены.


При исследовании стационарных и волновых процессов различной физической природы (колебания, теплопроводность, диффузия и др.) часто приходят к уравнениям Лапласа и Гельмгольца:

В электродинамике в качестве функции может выступать потенциал электрического поля, созданного зарядами или токами при условии отсутствия объемных зарядов в рассматриваемой области. С точки зрения иллюстративности применения обобщенного метода Фурье разделения переменных (ОМФ) интерес представляет внутренняя смешанная краевая задача для этих уравнений на плоскости в прямоугольной области. Геометрия этой задачи поясняется рис. 1.

Постановку этой задачи можно сформулировать следующим образом: найти функцию U(x,y), удовлетворяющую внутри области ограниченной контуром L уравнению:

(1)

либо уравнению:

(1’)

и граничным условиям на отдельных участках рассматриваемого контура:

(2)

Можно показать, что решения приведенных уравнений, получаемые классическим методом Фурье разделения переменных, т.е. при представлении искомой функции в виде U(x,y)=X(x)Y(y), не может удовлетворить граничным условиям рассматриваемых задач. Находясь в рамках классического метода Фурье, эти задачи можно решить благодаря искусственному приему. А именно, пользуясь линейностью уравнений (1) и (1’), рассматриваемые задачи разбивают на вспомогательные подзадачи. Например, для задачи с уравнением Гельмгольца (1’) — (2) вспомогательные задачи (3) — (4) и (5) — (6) выглядят следующим образом:

(3)
(4)
(5)
(6)

Решение задачи (1’) — (2) представляется в виде суперпозиции решений (3) — (4) и (5) — (6), т.е. . Аналогично можно поступить и для задачи с уравнением Лапласа (1)-(2).

Проиллюстрируем на примере краевой задачи для уравнения Гельмгольца, как более сложного из рассматриваемых, мощь и возможности обобщенного метода Фурье разделения переменных, позволяющего исключить необходимость рассмотрения вспомогательных задач. Для этого частные решения задачи (1’) — (2) будем искать в виде ОМФ-2 [1]

(7)

где функции как и функции являются линейно независимыми. Тогда уравнение (1) может быть приведено к виду:

(8)

Поступая в соответствии с теорией ОМФ [1] (ОМФ-2, r=2), вместо (8) получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:

(9)

где — постоянные решения билинейных функциональных уравнений. Используя требование независимости функций в (7) и гипотезу о достаточности размерности функционального базиса полагаем . Система (9) примет вид:

(10)

где использованы обозначения: .

Общие решения системы (10) имеют вид

(11)

где — постоянные интегрирования ОДУ.

С учетом (11), частные решения (8) будут иметь вид

(12)

Общее решение уравнения (1’) будет представлять собой суперпозицию всех частных решений (12) с различными значениями постоянных т.е.

(13)

Значения констант интегрирования в этом решении определим из граничных условий (2). Граничное условие по оси х, имеющее вид , приводит к выражению:

(14)

Это выражение при условии

(15)

преобразуется к виду:

(16)

Если принять, что

(17)

то выражение (16) можно рассматривать как разложение функции в ряд Фурье по косинусам в интервале (0, b). Коэффициенты этого разложения определяются следующим образом:

(18)

Граничное условие по оси х, имеющее вид , с учетом (15) и (17) приводит к выражению:

(19)

При условии

(20)

выражение (19) сводится к ряду Фурье для :

(21)

Коэффициенты этого ряда определяются:

(22)

Граничное условие по оси y, имеющее вид с учетом условий (15), (17) и (20) приводит к выражению:

(23)

Это выражение можно рассматривать как разложение функции в ряд Фурье по синусам в интервале Коэффициенты этого разложения определяются следующим образом:

(24)

Граничное условие по оси y, имеющее вид с учетом условий (15), (17) и (20) приводит к разложению функции в ряд Фурье вида:

(25)

Коэффициенты этого ряда определяются:

(26)

Окончательно, с учетом условий (15), (17) и (20) частные решения краевой задачи(1’)-(2) примут вид:

(27)

где и

Выражения определяющие коэффициенты этих решений вытекают из уравнений (18), (22), (24), (26):

(28)

Используя приведенную методику, для краевой задачи (1)-(2) с уравнением Лапласа можно получить следующий вид частных решений:

(29)

где

(30)

Выражения для коэффициентов в этих решениях получены из следующих уравнений:

(31)
(32)
(33)
(34)

Приведенные примеры использования ОМФ позволяют сделать однозначный вывод о преимуществах этого метода перед классическим методом разделения переменных. Наиболее наглядно эти преимущества проявляются именно в краевых задачах с граничными условиями определенного вида. Классификация таких задач представляется авторам направлением дальнейших исследований.

Использованная литература

1. И.Е. Андрушкевич. Об одном обобщении метода Фурье разделения переменных. ЭВ & ЭС. 1998. № 2.

Статьи за 2004 год

Все статьи

GuidesArray Rectangular 0.2.14

GuidesArray Rectangular™ позволяет быстро провести инженерные расчеты двумерных фазированных антенных решеток прямоугольных волноводов на электродинамическом уровне.


Подписка



Изменение параметров подписки


 




 
 
EDS-Soft

© 2002-2019 | EDS-Soft
Контакты | Правовая информация | Поиск | Карта сайта

© дизайн сайта | Андрей Азаров