Рассмотрим гладкую выпуклую поверхность без изломов, представляющую собой в общем случае ИС, над которой размещена решетка из МДЛИ. Считаем, что все электродинамические неоднородности (излучатели, плоскопараллельные слои магнитодиэлектриков и т.д.) находятся между поверхностями и , где поверхность расположена на некотором расстоянии над , а все вводимые ниже координатные системы имеют общее начало, лежащее на поверхности . Пусть на АР вдоль отрицательного направления оси декартовой системы координат под углами , падает монохроматическая первичная плоская электромагнитная волна. В результате дифракции этой волны на поверхности КАР наводятся электрические и магнитные токи, являющиеся источниками вторичной электромагнитной волны (рассеянного поля , ). В работе [2] методом Фока−Филиппова [3] построено асимптотическое решение задачи для двумерно-периодической КАР из МДЛИ над медленно-меняющейся цилиндрической ИКП произвольной формы больших электрических размеров. В настоящей работе полученные в [3] результаты обобщаются на выпуклые поверхности двойной кривизны. Сюда мы будем относить как замкнутые поверхности (действительный эллипсоид), так и незамкнутые неограниченные (эллиптический параболоид).

На поверхности полное электромагнитное поле можно записать в виде непрерывного разложения по плоским волнам [4]:

(1)

где , , — ковариантный базис некоторой ортогональной криволинейной системы координат , , , метрический тензор которой:

(2)

будем называть «парциальными» векторными гармониками в системе координат на поверхности . Для определения их конкретного вида введем на поверхности полугеодезическую (полярную [5]) систему координат , таким образом, чтобы выполнялись дифференциальные соотношения:

(3)

Здесь — некоторая произвольная функция, не обращающаяся нигде в ноль и обеспечивающая выполнение условий интегрируемости, . Касательные к осям ковариантные векторы удовлетворяют соотношению [10]:

(4)

где — поверхностный градиент [6], — контравариантный базис системы координат , , , а является эйконалом «парциальной» гармоники падающей волны на поверхности . В выражении (4) , k=1,2 — компоненты ковариантного метрического тензора (=1, =0, ) [7]:

Обозначим через , радиусы кривизны поверхности вдоль координатных линий и (=0). Будем считать, что физические компоненты электромагнитных полей (падающего и рассеянного) удовлетворяют условию малости поперечной и пренебрежимой малости продольной диффузий [8]. Тогда уравнения Максвелла могут быть асимптотически (при , m=1,2) сведены к системе связанных параболических уравнений Леонтовича−Фока относительно ковариантных компонент электрического поля и в координатах , , [3]. Решение последней в однородной области пространства вблизи решетки (при ) позволяет найти все остальные компоненты электрического и магнитного полей по формулам:

с точностью до величин [3], где , а — радиус кривизны поверхности вдоль координатной линии . Для периодической решетки на обобщенной цилиндрической поверхности это решение приведено в [2]. В случае же произвольной поверхности больших размеров и произвольного расположения излучателей решение получается достаточно громоздким и сложным в вычислительном отношении, т.к. требует выполнения численного дифференцирования и двойного численного интегрирования по контурам в комплексной плоскости. Оно может быть получено из выражений, приведенных в работе [3] (формулы (2.56)…(2.58 ) и (2.71)…(2.74)). Ограничимся случаем двумерно−периодической решетки, подчинив ее периоды условию

(5)

где — период АР вдоль оси (i = 1,2). Условие (5) характерно для КАР из МДЛИ. Перейдем в формуле (1) к дискретному преобразованию Фурье и будем считать, что при выполнении условий , и (5) в пределах данного выбранного периода:
— радиус кривизны не зависит от и
— компоненты метрического тензора не зависят от и
— компоненты метрического тензора не зависят от и .

При сделанных ограничениях из (3) получаем, положив , что в пределах одного (любого) периода:

Если, кроме перечисленных, выполняется еще и условие

то во всех выражениях можно положить . Кроме этого электромагнитное поле вблизи решетки при «парциальном» возбуждении (2) можно считать локально периодическим [3], а рассеянное поле в системе координат , , может быть записано для нулевой ячейки в области в виде [3]:

(6)

где , , — коэффициенты, являющиеся медленно−меняющимися функциями координат , . Ковариантные компоненты собственных векторов могут быть получены с использованием формул (2.70), (2.65), (2.56) и (2.58) работы [3] и имеют следующий вид:

— для электрического поля

(7)

(8)

В приведенных выражениях:

причем:

, — функции Эйри в определении и обозначении В. А. Фока, , штрих у функций Эйри обозначает производную по аргументу, , а — элементы второй квадратичной формы поверхности . Нижний индекс у и соответствует координате . Гармоники (7) и (8) аналогичны гармоникам Флоке для плоского случая [9] и равномерно переходят в них при .