В настоящей статье на примере АР из ЛИ в составе двумерно–периодической АР, размещенных на расстоянии над импедансной структурой (рис.1), проанализированы краевые эффекты, обусловленные конечными размерами раскрыва АР. В качестве сторонней рассматривается волна, распространяющаяся в фидерах равноамплитудно с линейным набегом фаз.

Для перехода от модели бесконечной [1] к модели конечной АР воспользуемся следующим подходом, позволяющим находить характеристики конечной решетки в бесконечном экране с импедансом (рис.1) на основании решения граничной задачи электродинамики для бесконечной АР [2].

Предположим, что излучатели не проявляют себя физически в смысле непосредственного вклада в характеристики АР, если токи на них равны нулю [3]. При этом установившиеся на их входах напряжения формируют краевую волну [4]. Будем считать, что каждый излучатель АР состоит из элементов (например, двухполяризационная АР, многочастотная АР и т.д.). Тогда путь к анализу конечной решетки заключается в следующем:

— к излучателям с номерами подключаем бесконечные по величине нагрузочные сопротивления (холостой ход) через виртуальные фидеры с волновыми сопротивлениями W;

— излучатели с номерами могут быть подключены либо к согласованным нагрузкам, либо к генераторам через фидеры с теми же волновыми сопротивлениями W.

Здесь N — конечное множество номеров излучателей, ограничивающее фрагмент бесконечной периодической решетки, внутри которого находятся интересующие нас излучатели конечной АР. Введем обозначения:

— – коэффициент взаимной связи между l-тым элементом m-того излучателя и s-тым элементом n-ного излучателя;

— – амплитуда волны основного типа, распространяющейся в направлении ко входу s-того элемента n-ного излучателя;

— – амплитуда волны основного типа, распространяющейся в направлении от входа l-того элемента m-того излучателя.

Тогда справедливо очевидное равенство, записанное для простоты применительно к одномерной АР (линейка излучателей):

(1)

Запишем амплитуды падающего поля в виде:

(2)

где — коэффициенты отражения от нагрузок, включенных в s-том возбужденном элементе n-ного излучателя, — то же для невозбужденного элемента, — множество номеров излучателей, где есть хотя бы один возбужденный элемент.

Пусть (т.е. отсутствует зависимость от номера излучателя). Тогда, подставляя (2) в (1), применяя преобразование Фурье и теорему о свертке и переходя к матричной форме записи, нетрудно показать, что амплитуды волны основного типа, распространяющейся в направлении от входов излучателей, удовлетворяют уравнению второго рода:

(3)

где для матриц введены обозначения

S — квадратная матрица рассеяния между элементами излучателя, , , — вектор–столбец , Е — единичная матрица, . Размерности всех матриц определяются величиной М.

Матричный оператор в уравнении (3) существует только в том случае, когда для всех дифференциальных сдвигов фаз из интервала . Поэтому при (режим холостого хода в виртуальных фидерах) в случае АР с диэлектрическими покрытиями оператор существует только при наличии потерь в слоях.

Для нормы оператора в дискретном пространстве с помощью неравенства Коши–Буняковского [5] можно получить оценку:

где — элементы квадратной матрицы .

В том случае, когда q < 1 (оператор K является оператором сжатия) для решения уравнения (3) можно использовать итерационную процедуру. При этом для скорости сходимости справедлива оценка [6]:

где — вектор амплитуд на k-том шаге итерации. В качестве нулевого приближения можно взять решение для бесконечной решетки.

Для АР с малым периодом Т (, — длина волны) скорость сходимости становится неудовлетворительной. В этом случае необходимо переформулировать задачу и записать уравнение не относительно амплитуд волн в фидерах, а относительно амплитуд суммарной краевой волны [4]. Если применить метод Положего [7], то вместо (3) получаем:

где — матрица искомых амплитуд краевой волны,

— второе итерированное матричное ядро (), — символ Кронекера.

После нахождения искомые амплитуды определяются из равенства , а диаграмма направленности (ДН) конечной решетки — из формулы:

где — вектор–строка {}, причем — ДН s-того элемента нулевого излучателя в бесконечной решетке, полученная при условии, что все остальные элементы во всех излучателях нагружены на согласованные нагрузки.

Обобщение полученных результатов на двумерный случай не представляет особых трудностей.

На основании полученных формул (при Г = 0) была рассчитана зависимость ДН ЛИ длиной l = 0,14, шириной = 0,03 на слое магнитодиэлектрика толщиной t = 0,032 с проницаемостью = 10, = 2 (= j1060.49, , ) от его положения в решетке из 1681 излучателей, расположенных в узлах квадратной сетки с периодом T = 0,14 (решетка размером 6 x6). Излучатели согласованы в направлении нормали к АР () при условии, что решетка бесконечна. При этом рассматриваемая модель соответствует конечной решетке в бесконечном экране, покрытом слоем магнитодиэлектрика с проницаемостями , и толщиной t. На рис.2 приведены ДН излучателей в H-плоскости при = 0 и = 0 (кривая 1, — номер излучателя по оси OX, — по оси OY), = 4 (кривая 2), = 12 (кривая 3). Поскольку по оси OY излучатели в АР расположены симметрично, эта симметрия сохраняется и в диаграммах. В той же плоскости, но для другого местоположения излучателей, на рис.3 представлены ДН ЛИ при = 0 и = 4 (кривая 1), = 12 (кривая 2). Кривая 3 описывает диаграмму излучателя в составе бесконечной решетки. ДН ЛИ в E-плоскости иллюстрируют рис.4 и 5. Все диаграммы излучателей конечной АР нормированы к ДН излучателя с номером = = 0. Из проведенного численного эксперимента следует, что:

— наиболее сильно ДН искажается в Н-плоскости, т.к. взаимная связь между ЛИ здесь меньше, чем в Е-плоскости;

— в Е-плоскости ДН перестает существенно искажаться начиная примерно с пятого излучателя от края решетки, в Н-плоскости — с тринадцатого.

Рассмотрим характеристики указанной АР при возбуждении всей решетки равномерно с линейным набегом фазы. Излучатели как и в предыдущем случае, согласованы в составе бесконечной решетки. На рис.6 представлены кривые, отражающие зависимость модулей коэффициентов отражения (КО) от номера излучателя (вдоль оси ЛИ) при = 0 в E-плоскости для углов фазировки решетки (кривая 1) и (кривая 2). Аналогичные зависимости от номера излучателя (поперек оси ЛИ) при = 0 приведены на рис.7.

Изменение модулей КО для H-плоскости в зависимости от номеров ЛИ при фазировке решетки в направлении иллюстрирует рис.8. Пунктиром на всех рисунках изображены КО излучателя в бесконечной решетке для угла (для имеем ). Во всех случаях КО по модулю больше для краевых излучателей и имеют осциллирующий характер, обусловленный интерференцией невозмущенных токов и токов суммарной краевой волны [4].

Анализ приведенных на рис.6…8 кривых в целом подтверждает выводы, полученные при анализе ДН (рис.2…5). Поведение КО конечной решетки в секторе углов отражает рис.9, где кривая 1 соответствует излучателю = 0, кривая 2 — излучателю = 4, кривая 3 — = 12, кривая 4 — = 20 причем = 0, пунктир соответствует бесконечной решетке. Из приведенных графиков следует, что в конечной решетке происходит уменьшение сектора углов, в котором . Так, для бесконечной решетки этот сектор равен ±60°, для излучателей конечной решетки с номерами = 0, 4 — ±55°, для излучателя = 12 — −50°…+60°, а для краевого излучателя (= 20) вообще отсутствует сектор углов с .

Как видно из рис.10, при возбуждении всей конечной решетки сильная взаимная связь приводит к тому, что максимумы ДН описывают гладкую кривую в секторе углов до ±60° с сохранением в среднем ширины диаграммы, соответствующей ширине ДН излучателя бесконечной решетки.

Выводы.

— для многоэлементных излучателей конечной АР обобщены формулы, полученные в [2]. Для расчета амплитуд суммарной краевой волны построено уравнение второго рода, норма оператора которого всегда меньше единицы.

— при экспериментальном исследовании диаграммы излучателя в АР при сильной связи методика измерений, связанная с возбуждением одного элемента решетки при остальных, нагруженных на согласованные нагрузки, неприменима. Для такой решетки следует измерять уровни максимумов диаграммы полностью возбужденной АР при различных углах фазировки.

— наиболее сильно в конечной АР КО искажается для излучателей, расположенных в плоскости сканирования. При этом отклонение КО от КО излучателя бесконечной решетки, не превышающее 25%, имеет место для излучателей центральной части АР, начиная примерно с расстояния (1…1.15) от края решетки (излучатель согласован в составе бесконечной решетки).