В.B. Kорышевым применительно к поверхностям цилиндрической формы предложено построение тензоров Грина на основе итерационной процедуры решения граничной задачи электродинамики для плоской ПИС. Предполагается, что этот метод применим для выпуклых поверхностей произвольных радиусов кривизны и . B настоящей статье результаты обобщаются на ПИС двойной кривизны.

Точки, расположенные над поверхностью S могут быть однозначно описаны радиус–вектором [2]:

(1)

где , — координаты точек на поверхности S, заданной радиус–вектором , а направление оси определяется направлением вектора нормали к S. Ковариантный базис над поверхностью S с учетом деривационной формулы Вейнгартена [3] может быть записан в виде:

(2)

где и – ковариантный базис на поверхности S, , – компоненты второй квадратичной формы поверхности S, – контравариантные компоненты метрического тензора.

Введем обозначения: — ковариантные компоненты тензора введенной системы координат ,, , g — определитель метрического тензора,

(3)

где , — метрический тензор на поверхности S.

Неоднородные уравнения Максвелла, записанные для ковариантных координат векторов поля (зависимость от времени взята в виде ), имеют, как хорошо известно, следующий вид:

(4а)

где n, k — «мертвые» индексы, — контравариантный псевдотензор Леви–Чивита, — ковариантные компоненты метрического тензора, g — модуль определителя метрического тензора, , — ковариантные компоненты векторов вторичного поля, , — ковариантные компоненты вектора магнитного и электрического токов на излучателях, являющихся источниками вторичных волн, — символ ковариантной производной. С помощью несложных преобразований уравнения (4а) могут быть представлены в эквивалентном виде:

(4б)

где запись Rot означает операцию ротора в декартовой системе координат, а через , обозначены векторы электрического и магнитного объемных сторонних «токов», обусловленных искривлением поверхности АР:

(5)

В записи (5) — единичный тензор, — тензор, контравариантные компоненты которого . Если носитель сторонних токов , конечен, то , при в силу теоремы единственности [4]. Как следует из (4), исходную задачу дифракции на выпуклом теле можно заменить эквивалентной задачей дифракции на плоской поверхности в присутствии объемно–распределенных над этой поверхностью токов , . При этом свойства пространства над S остаются без изменений. Учитывая (3), запишем в развернутом виде:

(6)

Для упрощения записи будем использовать следующие обозначения: , , , , m=1,2,3 — орты декартовой системы координат. B соответствии с (4) можно записать:

(7)

где V — объем всего рассматриваемого пространства (0≤z≤∞, -∞≤x,y≤∞), а тензоры , определяются равенствами:

	(8)
	(9)

причем

Здесь

, — коэффициенты «отражения» для плоской поверхности [5]. Остальные тензоры определяются из равенств:

B выражениях (8) и (9) верхняя строчка в фигурных скобках соответствует случаю , а нижняя — случаю ; индекс р=1 соответствует Н–волне, а индекс р=2 — Е–волне, причем

Введем обозначения:

— шести–вектор поля, — шести–вектор тока, , — линейные матричные интегральные операторы, ядра которых равны:

Тогда, используя (5), выражения (7) можно представить в операторном виде:

(10)

Уравнение (10) будем решать итерационным методом, причем в соответствии с (4) и (5)

Рассмотрим первое приближение, приняв за нулевое приближение поле плоской решетки , :

(11)

где — объем, занятый токами , . После подстановки (11) в (7) и приведения подобных членов получаем:

где тензоры Грина конформной поверхности в первом приближении имеют вид:

(12)

В выражении (12) , при и , при ,

а индексом "r" отмечены регулярные части тензорных функций Грина [6]. Применение тензоров (12) означает, что осуществлен переход от электродинамического рассмотрения конформной поверхности к рассмотрению плоской поверхности при наличии только сторонних токов , . При этом влияние объемных токов , учтено при получении выражений (12).

Распишем подробнее объемный интеграл в (12), подставив в него (8) и (9). Рассматривая при этом два характерных случая и записывая выражения в общем виде, получаем:

— при

(13)

— при

(14)

Здесь обозначено:

(15)

При вычислениях по формулам (13) и (14) возникают интегралы вида:

(16)

где обозначено:

(17)

При вычислениях по формулам (17) неудобно непосредственно использовать общие выражения (6). Для упрощения записи будем считать, что , , в неомбилических точках являются ортогональной координатной системой в линиях кривизны поверхности S [3]. При этом главные направления и можно определить соотношениями:

(18)

где обозначено

— уравнение поверхности S, , , , а функции и определяются из условий равенства вторых смешанных производных (условий совместности). Вводя обозначения , удобно записать эти условия в виде:

которые с учетом (18) приводят к двум независимым линейным дифференциальным уравнениям в частных производных:

(19)

с начальными условиями . Здесь обозначено

Решая уравнения (19), получаем [7]:

где и — соответствующие решения обыкновенных дифференциальных уравнений и , которые определяют уравнения проекций линий кривизны поверхности S на плоскость : и . Функции и — произвольные дифференцируемые функции, довлетворяющие условиям при .

В омбилических точках поверхности S выбираем в качестве главных направлений произвольно два взаимно–ортогональных направления [3].

Таким образом, в линиях кривизны получаем (, , — главные кривизны поверхности S):

— при

(20а)

— при

(20б)

При выводе выражений (20а) учтена формула (2.325.1) из [8], причем — аналитическое продолжение в комплексную плоскость, разрезанную вдоль отрицательной части действительной оси, интегральной показательной функции [9]. Остальные интегралы в (17) равны нулю.

Представляют также интерес значения некоторых интегралов из (20а) при b=∞ [9]:

(21)

В случае, когда S — цилиндрическая поверхность (, , ), выражения (20а) упрощаются:

Выражения (12)…(14) с учетом (15)…(21) полностью решают задачу определения тензорных функций Грина конформной поверхности в первом приближении и, следовательно, первого приближения рассеянного этой поверхностью электромагнитного поля.