В качестве основного метода исследования характеристик рассеяния выбран метод диаграммных уравнений (МДУ). В данной работе этот метод распространен на решение трехмерных задач дифракции на группе тел и на телах сложной формы, для которых интегральное представление Зоммерфельда–Вейля, ключевое для МДУ, оказывается расходящимся на части границы рассеивателя.
Впервые МДУ был предложен А.Г. Кюркчаном для решения двумерной скалярной задачи дифракции волн на компактном препятствии. Этот метод был им впоследствии применен к решению широкого круга задач теории дифракции, рассеяния и распространения волн. Речь идет о таких задачах, как рассеяние волн одиночным телом и двумерной группой тел как в однородном пространстве, так и в плоскослоистой среде, дифракция волн на многорядной периодической решетке вблизи плоской границы раздела сред, распространение волн в диэлектрических волноводах сложного поперечного сечения и др.
Научной новизной работы является распространение МДУ на скалярные и векторные трехмерные задачи рассеяния волн группой тел и телами сложной геометрии с различными вариантами краевых условий. Этот метод не имеет аналогов ни среди российских, ни среди зарубежных методов. Он обладает высокой скоростью сходимости вычислительного алгоритма, слабо зависящей от геометрии рассеивателей и расстояния между ними.
Основу метода составляет сведение исходной краевой задачи для уравнений Максвелла к системе интегрооператорных уравнений II рода относительно диаграмм рассеяния. При этом используется обобщенное представление Зоммерфельда–Вейля дифракционного поля в виде интеграла плоских волн, спектральной функцией в котором является диаграмма рассеяния. Далее эта система интегрооператорных уравнений алгебраизуется с использованием разложения искомой функции в ряд по векторным угловым сферическим гармоникам, образующим ортогональный базис на единичной сфере, и последующим проектированием левой и правой частей равенства на этот же базис. При определенных ограничениях на геометрию задачи, которые могут быть строго установлены, полученная бесконечная алгебраическая система разрешима методом редукции, т.е. усечения.
Основная идея МДУ, использовавшаяся при выводе системы интегрооператорных уравнений, состояла в том, что по диаграммам рассеяния волновое поле может быть продолжено вплоть до выпуклых оболочек особенностей, что в свою очередь позволяет найти эти диаграммы из соответствующей краевой задачи.
Следует также отметить, что МДУ является строго обоснованным методом, и для него установлены точные границы применимости. Это отличает МДУ от других численных методов, которые, как правило, не имеют явного строгого обоснования.
В результате проведенных исследований было показано, что на основе МДУ можно получать с приемлемой для практики точностью решения задач дифракции на группе тел и телах сложной формы в различных диапазонах частот. При этом было установлено, что МДУ применим для эффективного моделирования характеристик рассеяния различных тел сложной формы и произвольно неоднородных материальных параметров с помощью замены их комбинацией рассеивателей малых размеров.
При рассмотрении МДУ для группы тел с импедансными краевыми условиями была проведена численная проверка теоремы Уфимцева, согласно которой интегральный поперечник рассеяния черного тела в два раза меньше интегрального поперечника рассеяния идеально проводящего тела, имеющего тот же теневой контур. Результаты проверки этой теоремы подтвердили ее справедливость для группы тел, в случае, если их размеры составляют несколько длин волн падающего поля. Показано также, что полученные результаты хорошо согласуются с данными для одиночных рассеивателей.
Автором получены и выносятся на защиту следующие результаты:
| — | Распространение метода диаграммных уравнений на трехмерные задачи дифракции волн на группе тел и телах сложной формы с различными краевыми условиями. |
| — | Установлено, что скорость сходимости алгоритма МДУ для группы тел различной геометрии слабо зависит от геометрии рассеивателей и расстояний между ними. |
| — | На основе МДУ предложен и реализован алгоритм численного решения скалярных и векторных задач как для групп тел с различной геометрией, так и для различных краевых условий. |
| — | Исследовано взаимное влияние объектов, расположенных на различных расстояниях и установлены границы, при которых им можно пренебречь без существенной потери точности. |
| — | Показана возможность моделирования характеристик рассеяния тел сложной геометрии и произвольных материальных параметров при помощи замены их комбинацией объектов более простой формы. |
| — | Показано, что метод диаграммных уравнений позволяет находить не только диаграммы рассеяния тел, но и восстанавливать по ним поле практически в любой точке пространства. Показано также, что нормированные диаграмма рассеяния и поле на расстояниях, удовлетворяющих условию дальней зоны, практически совпадают. |
| — | Осуществлена оценка правильности всех численных исследований с использованием как проверки оптической теоремы, которая показала хорошую точность, не зависящую от расстояния между рассеивателями, так и сравнения с другими численными методами. |
МДУ является математически строго обоснованным. Оценка правильности полученных результатов осуществлялась путем проверки оптической теоремы. Там, где было возможно, результаты расчетов диаграмм рассеяния сравнивались с результатами, полученными при помощи других численных методов.
