Приведенные выше соотношения получены для случая однородного пространства над решеткой (z>0). Учитывая теперь влияние неоднородностей в виде границ между диэлектрическими слоями, для области z₀<z<z₁, где z₀ и z₁ — расстояния от экрана до металлической пластины и верхнего диэлектрического слоя соответственно, выражение (6) можно видоизменить следующим образом:

(8)

В полученном соотношении величины:

(9)

являются функциями коэффициентов отражения Е- и Н-волн от границы раздела сред z=z₁. Коэффициенты отражения могут быть получены из системы уравнений, соответствующей граничным условиям на границах раздела сред:

(10)

где

а , — проводимости (m,n)-ой гармоники E- и Н-волны соответственно.

Компоненты векторных величин в (8) можно получить подставляя (5) в (7):

(11)

где

(12)

а знак обозначает X или Y координату.

Производя интегрирование по частям в последнем выражении с учетом граничных условий для нормальных составляющих тока на кромках излучателя и уравнения непрерывности:

(13)

получим

(14)

где — составляющие поверхностной плотности электрического заряда, связанные о соответствующими компонентами плотности тока.

Таким образом, вектора поля (1), выраженные через электродинамические потенциалы, полностью определяются неизвестным пока распределением электрического заряда по поверхности излучателя. Искомый заряд можно найти методом интегрального уравнения. Для этого используем граничное условие для полного электрического поля на поверхности идеально проводящего излучателя:

(15)

где

— стороннее электрическое поле, a E₀ — известное значение напряженности электрического поля в зазоре между плечами вибратора. Интегрируя первое уравнение из (1) по поперечным координатам, можно получить:

(16)

где С — постоянная интегрирования.

При использовании в (16) найденных выше выражений для электрических потенциалов можно получить систему из двух интегральных уравнений первого рода:

(17)

Наличие двух составляющих заряда требует, вообще говоря, решения системы уравнений (17). В частном случае, когда излучателями являются узкие вибраторы с одной ненулевой составляющей тока, поперечное распределение которой известно, система уравнений (17) сводится к одномерному интегральному уравнению:

(18)

где

(19)

(20)

(21)

Ядро (19) интегрального уравнение (18) представлено в виде суммы двух слагаемых (20). Слагаемое при совпадении аргументов имеет интегрируемую особенность, выделяя которую [3], можно привести интегральное уравнение первого рода (18) к уравнению второго рода:

(22)

где

численное решение которого является корректной задачей [4]. В последнем выражении слагаемое ядра:

(23)

является гладкой функцией координат. Здесь R — радиус окружности с центром в особой точке x=x', а

Коэффициенты разложения выделенной особенности вида в ряд по ортогональным функциям могут быть найдены в виде:

(24)

где , , — функции Бесселя нулевого и первого порядка, , — функции Струве нулевого и первого порядка соответственно.

Функция в выражении (22) представляет собой результат выделения особенности:

(25)